derivada

Cálculo – A definição da derivada, a explicação intuitiva e algumas aplicações

by / 10 Comments / 12925 View / 12 de julho de 2013

Você certamente já ouviu a palavra derivada. Se não, no mínimo já ouviu falar de Cálculo. Não é por nada que ele é tão famoso. Os conceitos envolvidos em seu estudo são fundamentais para ciências como a Química e, principalmente, a Física. Logo, darei alguns exemplos que demonstram tal importância.

O Cálculo está presente na maioria dos cursos de ciências exatas, e é na disciplina de Cálculo I que se tem o primeiro contato com os limites, as derivadas e as integrais (conceitos de grande importância para a matemática).  Por conta da diversidade de conteúdo que precisa ser analisado, essa matéria é uma das que causam mais medo nos calouros.

Um dos pioneiros do Cálculo Moderno é Sir Isaac Newton – aquele da maçã (simultaneamente a Gottfried Leibniz). Sim, um físico desenvolveu conceitos do cálculo, e não é por nada – ressalto o quão fundamental é o cálculo para a Física. Ele relutou até aceitar que fossem publicadas suas descobertas acerca dessa maravilhosa área da matemática. Embora seja interessante explorar os fatos históricos, não pretendo me delongar neste ponto. Então, vamos à parte boa, a Matemática.

A noção de derivada é quase uma extensão do conceito de coeficiente angular da geometria analítica, mas se aplica a qualquer função, e não apenas a retas. Se você lembra o que aprendeu sobre isso no Ensino Médio já é um bom começo. Aos que não se recordam muito bem, darei uma breve explicação:

O coeficiente angular de uma reta diz respeito à inclinação desta reta. Quanto mais distante de zero é o coeficiente angular, maior é a inclinação da reta. Calcula-se o coeficiente angular de uma reta pela razão de uma variação de y por uma variação de x, correspondente à reta. Matematicamente, a = (y – y’) / (x-x’), onde a é o coeficiente angular, y e y’ são valores arbitrários para y, x e x’ são os valores de x correspondentes àqueles valores de y. O coeficiente angular equivale à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x.

Uma “interpretação intuitiva” disso é que o valor do coeficiente angular representa o quanto y varia em função de x. Por exemplo, se esse valor é 4, para cada variação de x haverá uma variação corresponde quádrupla desse valor em y. Observe o exemplo:

y = 4.x

Se x = 1, y=4. Se x = 2, y = 8. Nota-se que o x variou em 1 unidade e o y variou em 4, já que (8 – 4) / (2-1) = 4.

Para entender o que é a derivada, é preciso que se conheça o conceito de limite.

O limite é uma aproximação infinitesimal de x a algum valor, mas sem que x seja exatamente aquele valor.

Vamos analisar a função y = 1/x. Essa função não está definida para x = 0, pois não existe divisão com quociente 0 (zero) na matemática. Porém, você pode calcular o limite da função 1/x, com x tendendo a zero.  Quanto isso dá? (No caso, vamos calcular o limite com x tendendo a zero pela direita, ou seja, pelos valores mais positivos).

Pegue um valor cada vez mais próximo de zero e substitua na função dada. Se pegarmos x = 0,1 obtemos = 10. Pegando x = 10^-10 (dez elevado a menos dez, que é 0,0000000001), obtemos y=10^10, que é 10000000000. Com x = 10^-10000000, teremos um y de 10^10000000, e assim sucessivamente. Não é difícil concluir que se aproximarmos x infinitamente de zero, obteremos um valor infinito de y. Então, o limite lateral à direita com x tendendo a zero de 1/x é infinito (e assim também será com o limite lateral à esquerda).

Sabendo o que são limites, agora podemos estudar as derivadas:

A derivada é a inclinação do gráfico de uma dada função, para um dado valor de x. Também pode ser interpretada como o quanto y varia em função de x. No caso da reta, a inclinação não varia em função de x, pois é constante por todo o gráfico (em retas, a derivada é constante e corresponde ao coeficiente angular). Em funções que não são retas, a derivada depende do valor de x. É só pensar, por exemplo, numa função como uma parábola, a famosa função de segundo grau, do Ensino Médio. A inclinação do gráfico dessa função não é a mesma para todos os valores de x. Assim funciona com uma função trigonométrica, como a função seno, por exemplo.

Agora olhe a imagem deste post. Você vê que aquilo é um esboço de algo que se assemelha ao coeficiente angular do gráfico, e a única diferença é que o gráfico não é uma reta. Quando escolhemos e ligamos dois pontos arbitrários de um gráfico não-linear, chamamos a reta que liga esses dois pontos de reta secante (a reta secante pode interceptar infinitos pontos do gráfico da função). Você concorda que, quanto mais aproximarmos os pontos a e b, mais próximos estaremos de encontrar uma reta cuja inclinação corresponde à inclinação do gráfico nas proximidades dos pontos a e b? A derivada envolve uma aproximação infinitesimal, um limite.  Quando b tende infinitamente a a, a inclinação da secante é a derivada, que é a inclinação do próprio gráfico dessa função no ponto a. Repare que com = 0 ou com  a b, aquela equação fica indefinida, há uma divisão por zero. Por isso é um limite, como já expliquei.  A definição formal de derivada é aquele limite que está escrito ao lado do gráfico, tanto o primeiro quanto o segundo (na verdade, esses dois limites são equivalentes). Lê-se “o limite, com b tendendo a a, de f(x)”, no primeiro caso e “o limite, com h tendendo a zero, de f(x)”, no segundo caso.

Mas, afinal, para que serve a derivada?

A primeira e mais clássica aplicação da derivada é a velocidade instantânea de um corpo (viu como é importante? A primeira matéria ensinada no curso de Física I já envolve derivadas). Se é dada a função que descreve a posição de um corpo em função do tempo, a derivada dessa função corresponde à velocidade do corpo naquele instante de tempo (lembra que a velocidade é a variação de espaço dividido pela variação de tempo, e a derivada de y com relação a x é o quanto y varia em função de x? Fica claro que a derivada da posição de um corpo é a velocidade. É só pegar aquela primeira definição de derivada, na imagem, e substituir y = espaço e x = tempo). Isso permite que se calcule a velocidade do corpo para qualquer instante de tempo (a não ser que a derivada não esteja definida em algum ponto, o que não ocorre na Física Clássica). Tal noção é intuitiva, pois se o gráfico da posição em função do tempo é muito inclinado há uma grande variação de espaço por unidade de tempo, ou seja, o módulo da velocidade é alto.

Se pegarmos, analogamente, a função da velocidade em função do tempo e determinarmos a derivada, temos a aceleração do corpo pra qualquer instante (a aceleração é definida como a variação de velocidade dividido pela variação de tempo).

Outro exemplo é no caso de encher um recipiente com água. Sabendo a função que descreve o formato do recipiente e a quantidade de água que entra por unidade de tempo, pode-se saber com que velocidade a água sobe em um determinado instante de tempo.

O último exemplo (e este não é tão comum no dia-a-dia) é determinarmos o que ocorrem com ondas estacionárias. Para determinarmos o comportamento dessas ondas, temos que analisar as condições de contorno da função da onda, algo que envolve derivadas.

 

10 Comment

  1. Ilucidou-me bastante, preciso de associar imediatamente alguns exercícios com e sem resoluções. obrigado

  2. Excelente. Tinha estado procurando por muito tempo por esta explicação.

  3. Formulas de derivadas

  4. Muito bom!

    Obrigada!

  5. Valeu!

  6. Maravilhoso! Estava justamente procurando por uma boa explicação de derivadas!

  7. Muito boa a matéria. Só precisa fazer um ajuste em "e assim também será com o limite lateral à esquerda" (tende ao infinito negativo). : )

  8. quando vc escreveu "pelos valores mais positivos" vc deveria ter escrito pelos valores maiores que x, denomina-se positivo qualquer numero maior que zero, logo um bilhão não é mais positivo do que 5, dizemos um bilhão é maior do que 5

  9. Excelente artigo. Fico fascinado com a matemática, algo tão abstrato, lógico e previsível… fantástico.

  10. Muito bom!

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